東北大学
2013年 理系 第4問
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![数列{a_n},{b_n}をa_n=∫_{-π/6}^{π/6}e^{nsinθ}dθ,b_n=∫_{-π/6}^{π/6}e^{nsinθ}cosθdθ(n=1,2,3,・・・)で定める.ただし,eは自然対数の底とする.(1)一般項b_nを求めよ.(2)すべてのnについて,b_n≦a_n≦\frac{2}{√3}b_nが成り立つことを示せ.(3)\lim_{n→∞}1/nlog(na_n)を求めよ.ただし,対数は自然対数とする.](./thumb/52/1021/2013_4.png)
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta} \, d\theta,\quad b_n=\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}e^{n \sin \theta}\cos \theta \, d\theta \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) 一般項$b_n$を求めよ.
(2) すべての$n$について,$\displaystyle b_n \leqq a_n \leqq \frac{2}{\sqrt{3}}b_n$が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \log (na_n)$を求めよ.ただし,対数は自然対数とする.
(1) 一般項$b_n$を求めよ.
(2) すべての$n$について,$\displaystyle b_n \leqq a_n \leqq \frac{2}{\sqrt{3}}b_n$が成り立つことを示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \log (na_n)$を求めよ.ただし,対数は自然対数とする.
類題(関連度順)
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