神奈川大学
2015年 理系 第2問
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辺の長さが$1$の正方形を$S_1$とし,$S_1$に内接する円を$C_1$,$C_1$に内接するひとつの正方形を$S_2$,$S_2$に内接する円を$C_2$とする.以下同様に,自然数$n$に対し,正方形$S_n$,円$C_n$を定める.すなわち,正方形$S_n$の内接円が$C_n$であり,正方形$S_{n+1}$は円$C_n$に内接している.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $S_n$の辺の長さを$l_n$とするとき,$C_n$の半径を$l_n$で表せ.
(2) 数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ.
(3) $S_n$の内部から$C_n$の内部を除いた部分の面積を$a_n$とする.$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ.
(1) $S_n$の辺の長さを$l_n$とするとき,$C_n$の半径を$l_n$で表せ.
(2) 数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ.
(3) $S_n$の内部から$C_n$の内部を除いた部分の面積を$a_n$とする.$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ.
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