浜松医科大学
2015年 医学部 第3問
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$t$は実数で$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$を満たすとする.平面上に点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(-1,\ 0)$,$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$,$\mathrm{Q}(1,\ \sin t)$をとる.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$,点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする.このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(2) $t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする.このとき,点$(x,\ y) \ \ (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ.
(3) 曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする.ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる.この状況のもとで,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ.
(ⅱ) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく.また,点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち,$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく.このとき,$\theta=\phi$を示せ.
(1) 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$,点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする.このとき$\ell,\ m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(2) $t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲全体を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする.このとき,点$(x,\ y) \ \ (x>0,\ y>0)$が$C$上にあるための条件を$x,\ y$の式で表せ.
(3) 曲線$C$の点$\mathrm{R}$における接線を$n$とする.ある$t$に対して直線$\ell,\ m$がなす鋭角と直線$m,\ n$がなす鋭角が等しくなる.この状況のもとで,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$の座標を求めよ.
(ⅱ) 直線$\ell$と$n$のなす鋭角を$\theta$とおく.また,点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円と直線$n$との$2$交点のうち,$y$座標が正の点を$\mathrm{S}(\cos \phi,\ \sin \phi)$とおく.このとき,$\theta=\phi$を示せ.
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