名古屋市立大学
2011年 経済学部 第4問
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長方形OAB$_1$C$_1$において$\text{OA}=1,\ \angle \text{AOB}_1=\theta \ (0^\circ<\theta<90^\circ)$とする.図のように,この長方形の対角線OB$_1$を一辺とし,$\angle \text{B}_1 \text{OB}_2=\theta$となる長方形OB$_1$B$_2$C$_2$を反時計回りに作る.同様にして$\angle \text{B}_n \text{OB}_{n+1}=\theta$となる長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を作る.次の問いに答えよ.
(1) 線分OB$_1$およびB$_1$B$_2$の長さを$\theta$で表せ.
(2) 長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1}$の面積を$n$と$\theta$で表せ.ただしB$_0=\text{A}$とする.
(3) $\theta=30^\circ$のとき,図形OAB$_1$B$_2$B$_3$B$_4$C$_4$の面積$S$を求めよ.
\begin{center} \setlength\unitlength{1truecm} \begin{picture}(10,6.3)(0,0) \put(4,2.5){\line(1,0){4}} \put(4,0.5){\line(0,1){2}} \put(4,0.5){\line(1,0){4}} \put(8,0.5){\line(0,1){2}} \put(4,0.5){\line(2,1){4}} \put(4,0.5){\line(-1,2){0.92}} \put(3.07,2.35){\line(2,1){4}} \put(8,2.5){\line(-1,2){0.92}} \put(4,0.5){\line(-5,4){2}} \put(2,2.1){\line(4,5){3.08}} \put(4,0.5){\line(4,5){3.08}} \put(7.08,4.36){\line(-5,4){2}} \put(4,0){O} \put(8.2,0){A} \put(8.2,2.2){B$_1$} \put(7.3,4.3){B$_2$} \put(5.2,6){B$_3$} \put(3.5,2.2){C$_1$} \put(2.6,2){C$_2$} \put(1.5,2){C$_3$} \put(4.8,0.6){$\theta$} \put(4.7,1){$\theta$} \end{picture} \end{center}
(1) 線分OB$_1$およびB$_1$B$_2$の長さを$\theta$で表せ.
(2) 長方形OB$_n$B$_{n+1}$C$_{n+1}$の面積を$n$と$\theta$で表せ.ただしB$_0=\text{A}$とする.
(3) $\theta=30^\circ$のとき,図形OAB$_1$B$_2$B$_3$B$_4$C$_4$の面積$S$を求めよ.
\begin{center} \setlength\unitlength{1truecm} \begin{picture}(10,6.3)(0,0) \put(4,2.5){\line(1,0){4}} \put(4,0.5){\line(0,1){2}} \put(4,0.5){\line(1,0){4}} \put(8,0.5){\line(0,1){2}} \put(4,0.5){\line(2,1){4}} \put(4,0.5){\line(-1,2){0.92}} \put(3.07,2.35){\line(2,1){4}} \put(8,2.5){\line(-1,2){0.92}} \put(4,0.5){\line(-5,4){2}} \put(2,2.1){\line(4,5){3.08}} \put(4,0.5){\line(4,5){3.08}} \put(7.08,4.36){\line(-5,4){2}} \put(4,0){O} \put(8.2,0){A} \put(8.2,2.2){B$_1$} \put(7.3,4.3){B$_2$} \put(5.2,6){B$_3$} \put(3.5,2.2){C$_1$} \put(2.6,2){C$_2$} \put(1.5,2){C$_3$} \put(4.8,0.6){$\theta$} \put(4.7,1){$\theta$} \end{picture} \end{center}
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