$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人で交互にボールを的に向かって投げるゲームを行う．先にボールを的に当てた方を勝ちとしゲームを終了する．$\mathrm{A}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$p$，$\mathrm{B}$がボールを$1$回投げて的に当たる確率は$q$である．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$である．$\mathrm{A}$を先攻とし，$\mathrm{A}$の最初の投球を$1$回目，次の$\mathrm{B}$の投球を$2$回目，$\cdots$と数える．次の問いに答えよ．
(1) $n$回目の投球で$\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(2) $\mathrm{A}$がゲームに勝つ確率を求めよ．
(3) $\mathrm{B}$がゲームに勝つ確率が，$\mathrm{A}$が勝つ確率より高くなるときの$p,\ q$の条件を求めよ．また，その条件を満たす$(p,\ q)$の領域を横軸$p$，縦軸$q$の座標平面に図示せよ．