原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ 0,\ c_2)$をとる．ただし，$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2,\ c_1,\ c_2$は全て正とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$としたとき，次の問いに答えよ．
(1) 三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(2) 空間内の点$\mathrm{P}$を考える．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が三角形$\mathrm{OAB}$を含む平面に垂直で大きさ$1$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$の成分で表せ．
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$の成分で表せ．