名古屋市立大学
2015年 薬学部 第3問
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自然数$n$に対して，$0$以上の実数を定義域とする$x$の関数$R_n(x)$を
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．
(1) 次の不等式を示せ． \[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2) 次の等式を示せ． \[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3) 以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．
(ⅰ) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$
(ⅱ) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$
(1) 次の不等式を示せ． \[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2) 次の等式を示せ． \[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3) 以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．
(ⅰ) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$
(ⅱ) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$
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