$f(x)$は$x$の$4$次関数であり，点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，点$\mathrm{B}(0,\ k)$，点$\displaystyle \mathrm{C} \left( -1,\ \frac{13}{4} \right)$の$3$点で極値をもつ．次の問いに答えよ．
(1) $k$および$f(x)$を求めよ．
(2) 曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$になるように，曲線$y=f(x)$を平行移動した曲線の方程式$y=g(x)$を求めよ．
(3) 放物線$y=px^2$が$y=g(x)$と原点$\mathrm{O}$以外で共有点をもたないための$p$の条件を求めよ． \imgc{415_1101_2014_2}