一辺の長さが$2a$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする高さ$h$の正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．ここで，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$の長さはすべて等しい．正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$に内接する球を$Q_1$とし，また正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$の$4$つの側面と$Q_1$に接する球を$Q_2$とする．以下同様にして球$Q_3,\ Q_4,\ \cdots,\ Q_n$をつくる．次の問いに答えよ．
(1) 球$Q_1$の半径$r_1$を求めよ．
(2) 球$Q_{k+1}$の半径$r_{k+1}$を球$Q_k$の半径$r_k$で示せ．
(3) 球$Q_n$の体積を$a,\ h,\ n$で示せ．
(4) $h=2\sqrt{2}a$のとき，球$Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ \cdots,\ Q_n$の体積の和を$a,\ n$で示せ．