大阪大学
2011年 理系 第3問
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実数の組$(p,\ q)$に対し,$f(x) = (x-p)^2 +q$とおく.
(1) 放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り,しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ.
(2) 実数の組$(p_1,\ q_1)$,$(p_2,\ q_2)$に対して,$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく.実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して \[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \] であるならば,区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ.
(3) 長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える.また,4点P$_0(0,\ 1)$,P$_1(0,\ 0)$,P$_2(1,\ 1)$,P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする.実数の組$(p,\ q)$を,放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき,$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする.$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し,その面積を求めよ.
(1) 放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り,しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ.
(2) 実数の組$(p_1,\ q_1)$,$(p_2,\ q_2)$に対して,$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく.実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して \[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \] であるならば,区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ.
(3) 長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える.また,4点P$_0(0,\ 1)$,P$_1(0,\ 0)$,P$_2(1,\ 1)$,P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする.実数の組$(p,\ q)$を,放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき,$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする.$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し,その面積を求めよ.
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