金沢大学
2016年 理系 第1問
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数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=b_1=2, \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \\
\displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}a_n-\frac{\sqrt{6}}{4}b_n,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{6}}{4}a_n+\frac{\sqrt{2}}{4}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{\fbox{}}}
\end{array} \right. \]
を満たすものとする.$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき,次の問いに答えよ.
(1) $z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と,その絶対値$|w|$を求めよ.
(2) 複素数平面上で,点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ.
(3) 数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(4) 複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする.このとき,複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ.
(1) $z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と,その絶対値$|w|$を求めよ.
(2) 複素数平面上で,点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ.
(3) 数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(4) 複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする.このとき,複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ.
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