名古屋工業大学
2012年 工学部 第3問
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$a,\ b$は定数で$a \neq 0$とする．自然数$n$に対して，整式$(ax+b)^n$を$x^2+1$で割った余りを$a_nx+b_n$と表し，
\[ I_n=\int_0^1 \frac{(ax+b)^n}{x^2+1} \, dx \]
とおく．
(1) 行列$A$は，すべての$n$に対して， \[ \biggl( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \biggr) \] を満たす．行列$A$を求めよ．
(2) (1)で求めた行列$A$に対し， \[ A^2+pA+qE=O \] となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(3) (2)で求めた$p,\ q$に対し，定積分 \[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \] を求めよ．
(4) $a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ．
(1) 行列$A$は，すべての$n$に対して， \[ \biggl( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \biggr) \] を満たす．行列$A$を求めよ．
(2) (1)で求めた行列$A$に対し， \[ A^2+pA+qE=O \] となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(3) (2)で求めた$p,\ q$に対し，定積分 \[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \] を求めよ．
(4) $a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ．
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