名古屋工業大学
2015年 工学部 第4問
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四面体$\mathrm{ABCD}$は
$\tokeiichi$ \ \ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$\tokeini$ \ \ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$
を満たす．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．
(1) 辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ．
(3) 線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4) 面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき，面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ．
$\tokeiichi$ \ \ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$\tokeini$ \ \ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$
を満たす．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．
(1) 辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ．
(3) 線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4) 面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき，面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ．
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