名古屋工業大学
2014年 工学部 第1問
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以下の問いに答えよ．
(1) $r \neq 1$のとき$S_n=r+2r^2+3r^3+\cdots +nr^n$を求めよ．
(2) $x>0$に対して \[ f_n(x)=e^{-x}+2e^{-2x}+3e^{-3x}+\cdots +ne^{-nx} \] とおく．極限$\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)$を求めよ．ただし$\displaystyle \lim_{t \to \infty} te^{-t}=0$であることを用いてもよい．
(3) $(2)$で得られた関数$f(x)$について，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4) $(2)$で得られた関数$f(x)$について，定積分$\displaystyle \int_{\log 2}^{\log 3} xf(x) \, dx$を求めよ．
(1) $r \neq 1$のとき$S_n=r+2r^2+3r^3+\cdots +nr^n$を求めよ．
(2) $x>0$に対して \[ f_n(x)=e^{-x}+2e^{-2x}+3e^{-3x}+\cdots +ne^{-nx} \] とおく．極限$\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}f_n(x)$を求めよ．ただし$\displaystyle \lim_{t \to \infty} te^{-t}=0$であることを用いてもよい．
(3) $(2)$で得られた関数$f(x)$について，不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4) $(2)$で得られた関数$f(x)$について，定積分$\displaystyle \int_{\log 2}^{\log 3} xf(x) \, dx$を求めよ．
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