慶應義塾大学
2016年 理工学部 第4問
4
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$i$を虚数単位とする.次の事実がある.
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする.このとき,
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する.
\end{waku}
(1) 等式 \[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \] を満たす最小の正の整数$k$は$\fbox{ツ}$である.
(2) $a,\ b$を互いに素な正の整数とし,集合$P$を \[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \] で定める.事実$\mathrm{F}$を考慮すると,集合$P$の要素の個数$n(P)$は$\fbox{テ}$である.
(3) 事実$\mathrm{F}$を証明しなさい.
(4) $a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし,$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする.集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め,集合$R$を \[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \] で定める.$b_1$と$b_2$が互いに素ならば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$\fbox{ト}$である.$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき,それらの最大公約数を$d$とすれば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$\fbox{ナ}$である.
(1) 等式 \[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \] を満たす最小の正の整数$k$は$\fbox{ツ}$である.
(2) $a,\ b$を互いに素な正の整数とし,集合$P$を \[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \] で定める.事実$\mathrm{F}$を考慮すると,集合$P$の要素の個数$n(P)$は$\fbox{テ}$である.
(3) 事実$\mathrm{F}$を証明しなさい.
(4) $a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし,$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする.集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め,集合$R$を \[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \] で定める.$b_1$と$b_2$が互いに素ならば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$\fbox{ト}$である.$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき,それらの最大公約数を$d$とすれば,集合$R$の要素の個数$n(R)$は$\fbox{ナ}$である.
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