早稲田大学
2012年 基幹理工・創造理工・先進理工 第2問
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![初項をa_0≧0とし、以下の漸化式で定まる数列{a_n}_{n=0,1,・・・}を考える．a_{n+1}=a_n-[\sqrt{a_n}]\qquad(n≧0)ただし，[x]はxを超えない最大の整数を表す．つぎの問に答えよ．(1)a_0=24とする．このとき，a_n=0となる最小のnを求めよ．(2)mを2以上の整数とし，a_0=m^2とする．このとき，1≦j≦mをみたすjに対してa_{2j-1},a_{2j}をjとmで表せ．(3)mを2以上の整数，pを1≦p≦m-1をみたす整数とし，a_0=m^2-pとする．このときa_k=(m-p)^2となるkを求めよ．さらに，a_n=0となる最小のnを求めよ．](./thumb/304/14/2012_2.png)
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初項を$a_0 \geqq 0$とし、以下の漸化式で定まる数列$\left\{a_n\right\}_{n=0,1,\cdots}$を考える．
\[ a_{n+1} = a_n - \left[\sqrt{a_n}\,\right] \qquad (n \geqq 0) \]
ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．つぎの問に答えよ．
(1) $a_0=24$とする．このとき，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
(2) $m$を$2$以上の整数とし，$a_0=m^2$とする．このとき，$1 \leqq j \leqq m$をみたす$j$に対して$a_{2j-1},\ a_{2j}$を$j$と$m$で表せ．
(3) $m$を$2$以上の整数，$p$を$1 \leqq p \leqq m-1$をみたす整数とし，$a_0=m^2-p$とする．このとき$a_k=(m-p)^2$となる$k$を求めよ．さらに，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
(1) $a_0=24$とする．このとき，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
(2) $m$を$2$以上の整数とし，$a_0=m^2$とする．このとき，$1 \leqq j \leqq m$をみたす$j$に対して$a_{2j-1},\ a_{2j}$を$j$と$m$で表せ．
(3) $m$を$2$以上の整数，$p$を$1 \leqq p \leqq m-1$をみたす整数とし，$a_0=m^2-p$とする．このとき$a_k=(m-p)^2$となる$k$を求めよ．さらに，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
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