お茶の水女子大学
2012年 理(数学科) 第1問
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![半径2の円板がx軸上を正の方向に滑らずに回転するとき,円板上の点Pの描く曲線Cを考える.円板の中心の最初の位置を(0,2),点Pの最初の位置を(0,1)とする.(1)円板がその中心のまわりに回転した角をθとするとき,Pの座標は(2θ-sinθ,2-cosθ)で与えられることを示せ.(2)点P(2θ-sinθ,2-cosθ)(0<θ<2π)における曲線Cの法線とx軸との交点をQとする.線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ.ここで,Pにおいて接線に直交する直線を法線という.(3)曲線Cとx軸,2直線x=0,x=4πで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.](./thumb/177/2316/2012_1.png)
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半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき,円板上の点Pの描く曲線$C$を考える.円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$,点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする.
(1) 円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき,Pの座標は \[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \] で与えられることを示せ.
(2) 点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする.線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ.ここで,Pにおいて接線に直交する直線を法線という.
(3) 曲線$C$と$x$軸,2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
(1) 円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき,Pの座標は \[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \] で与えられることを示せ.
(2) 点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする.線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ.ここで,Pにおいて接線に直交する直線を法線という.
(3) 曲線$C$と$x$軸,2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
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