$n$を正の整数とする．袋の中に，$1$から$4n$までの数字が$1$つずつ書かれた$4n$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この袋から，カードを$1$枚ずつ$2$回取り出す．ただし，取り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出された$2$枚のカードに書かれた数字の和が$6n$以下となる確率を$P_n$とおく．次の問いに答えよ．
(1) $P_1,\ P_2$をそれぞれ求めよ．
(2) $P_n$を$n$を用いて表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．