九州工業大学
2015年 工学部 第2問
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初項$1$,公差$3$の等差数列$\{a_n\}$と,一般項が$\displaystyle b_n=\left[ \frac{2n+2}{3} \right]$で与えられる数列$\{b_n\}$がある.ここで,実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す.たとえば,$\displaystyle b_1=\left[ \frac{4}{3} \right]=1$,$b_2=[2]=2$,$\displaystyle b_3=\left[ \frac{8}{3} \right]=2$である.数列$\{a_n\}$を次のように,$b_1$個,$b_2$個,$b_3$個,$\cdots$の群に分け,第$k$群には$b_k$個の数が入るようにする.
$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$
第$k$群の最初の数を$c_k$とする.次に答えよ.
(1) 自然数$m$に対して,$b_{3m-2}$,$b_{3m-1}$,$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ.また,数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ.
(2) 自然数$m$に対して,$c_{3m-2}$,$c_{3m-1}$,$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ.また,数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ.
(3) $1000$は第何群の何番目の数か.
(4) $x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて,次の不等式が成り立つことを示せ.ただし,$m$は自然数とする. \[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]
$\big| \quad a_1 \quad \big| \quad a_2,\ a_3 \quad \big| \quad a_4,\ a_5 \quad \big| \quad a_6,\ \cdots$
\ 第$1$群 \quad 第$2$群 \qquad\ 第$3$群 \qquad $\cdots$
第$k$群の最初の数を$c_k$とする.次に答えよ.
(1) 自然数$m$に対して,$b_{3m-2}$,$b_{3m-1}$,$b_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ.また,数列 $\{b_n\}$の初項から第$3m$項までの和$S_{3m}$を求めよ.
(2) 自然数$m$に対して,$c_{3m-2}$,$c_{3m-1}$,$c_{3m}$をそれぞれ$m$の多項式で表せ.また,数列 $\{c_k\}$の初項から第$3m$項までの和$T_{3m}$を求めよ.
(3) $1000$は第何群の何番目の数か.
(4) $x \geqq 1$のとき$\displaystyle \sqrt{x^2+1}<x+\frac{1}{2}$であることを用いて,次の不等式が成り立つことを示せ.ただし,$m$は自然数とする. \[ \sum_{k=1}^{3m} (\sqrt{c_k}-k)<\frac{m}{2} \]
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