関数$s(t)$はつねに$s^\prime(t)>0$をみたし，$s(0)=0$とする．座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$は，時刻$t$の関数として$x=s(t)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2} \{s(t)\}^2$で与えられ，点$\mathrm{P}$の速度$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$は \[ |\overrightarrow{v}|=\frac{1}{\sqrt{1+\{s(t)\}^2}} \] をみたすとする．また，$\displaystyle \alpha=s \left( -\frac{4}{3} \right)$，$\displaystyle \beta=s \left( \frac{4}{3} \right)$とおく．次に答えよ．
(1) $\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)$が成り立つように関数$f(x)$を定めよ．
(2) $\displaystyle \frac{4}{3}=\int_{-\frac{4}{3}}^0 \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$，$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_0^{\frac{4}{3}} \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$を用いて，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．
(3) $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=g(x)$が成り立つように関数$g(x)$を定めよ．また，$\alpha \leqq x \leqq \beta$のとき$g(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．