早稲田大学
2012年 スポーツ科学学部 第5問
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$k$を実数とする.$3$次関数
\[ f(x) = -x^3 + kx^2 +kx +1 \]
が$x=\alpha$で極小値をとり,$x=\beta$で極大値をとる.$3$点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$,$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$,$\mathrm{C}(\beta,\ f(\alpha))$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすとき,
\[ \alpha + \beta = \frac{\fbox{テ}}{3}k, \quad \alpha\beta = \frac{\fbox{ト}}{3}k \]
である.したがって,
\[ k= \frac{\fbox{ナ} \pm \fbox{ニ}\sqrt{\fbox{ヌ}}}{2} \]
となる.ただし,\fbox{ニ}は自然数,\fbox{ヌ}はできるだけ小さい自然数で答えることとする.
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