南山大学
2010年 法学部 第1問
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$\fbox{}$の中に答を入れよ.
(1) $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき,関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=\fbox{ア}$であり,最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=\fbox{イ}$である.
(2) 実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき,残りの解のうち実数解を求めると$x=\fbox{ウ}$であり,$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=\fbox{エ}$である.ただし,$i$は虚数単位である.
(3) $x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき,定数$a$のとりうる値の範囲は$\fbox{オ}$である.また,$x \geqq \sqrt{2}$,$y \geqq 1$,$x^2y=4$のとき,$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると,$(x,\ y)=\fbox{カ}$である.
(4) 座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と,傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える.$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$($\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$)で交わるとする.$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき,$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=\fbox{キ}$である.また,点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき,$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$\fbox{ク}$である.
(1) $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき,関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=\fbox{ア}$であり,最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=\fbox{イ}$である.
(2) 実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき,残りの解のうち実数解を求めると$x=\fbox{ウ}$であり,$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=\fbox{エ}$である.ただし,$i$は虚数単位である.
(3) $x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき,定数$a$のとりうる値の範囲は$\fbox{オ}$である.また,$x \geqq \sqrt{2}$,$y \geqq 1$,$x^2y=4$のとき,$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると,$(x,\ y)=\fbox{カ}$である.
(4) 座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と,傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える.$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$($\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$)で交わるとする.$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき,$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=\fbox{キ}$である.また,点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき,$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$\fbox{ク}$である.
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