$k,\ n$は自然数で$n \geqq 3$とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする \\ 半径1の円を$S_1$とする．右の図のように，半径$r_1$の$n$個の \\ 円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ$S_1$に内接してい \\ る．さらに，点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_2$は，半径$r_1$のすべて \\ の円に外接している．同様に，$k \geqq 2$に対して，半径$r_k$の \\ $n$個の円は隣り合う他の2つの円と外接し，かつ円$S_k$に内 \\ 接している．さらに点$\mathrm{O}$を中心とする円$S_{k+1}$は，半径$r_k$ \\ のすべての円に外接している．$S_2$の半径を$s_2$とする．以下の問に答えよ． \img{385_2485_2011_1}{60}
(1) $r_1$と$s_2$を$n$を用いて表せ．
(2) 半径$r_k$の1つの円の面積を$T_k(n)$とする．$T_k(n)$を$k$と$n$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle U(n)=n \sum_{k=1}^\infty T_k(n)$とする．$U(n)$を求めよ．
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}U(n)$を求めよ．