金沢大学
2012年 理系 第1問
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![半径1の円に内接する正2^n角形(n≧2)の面積をS_n,周の長さをL_nとする.次の問いに答えよ.(1)S_n=2^{n-1}sin\frac{π}{2^{n-1}},L_n=2^{n+1}sin\frac{π}{2^n}を示せ.(2)\frac{S_n}{S_{n+1}}=cos\frac{π}{2^n},\frac{S_n}{L_n}=1/2cos\frac{π}{2^n}を示せ.(3)\lim_{n→∞}S_n,\lim_{n→∞}cos\frac{π}{2^2}cos\frac{π}{2^3}・・・cos\frac{π}{2^n}を求めよ.(4)\lim_{n→∞}2^n\frac{S_2}{L_2}\frac{S_3}{L_3}・・・\frac{S_n}{L_n}を求めよ.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/355/1277/2012_1.png)
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半径$1$の円に内接する正$2^n$角形$(n \geqq 2)$の面積を$S_n$,周の長さを$L_n$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle S_n = 2^{n-1} \sin \frac{\pi}{2^{n-1}},\quad L_n=2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^n}$を示せ.
(2) $\displaystyle \frac{S_n}{S_{n+1}}= \cos \frac{\pi}{2^n},\quad \frac{S_n}{L_n}=\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2^n}$を示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n,\quad \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi}{2^2}\cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^n}$を求めよ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}2^n \frac{S_2}{L_2}\frac{S_3}{L_3} \cdots \frac{S_n}{L_n}$を求めよ. \imgc{355_1277_2012_1}
(1) $\displaystyle S_n = 2^{n-1} \sin \frac{\pi}{2^{n-1}},\quad L_n=2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^n}$を示せ.
(2) $\displaystyle \frac{S_n}{S_{n+1}}= \cos \frac{\pi}{2^n},\quad \frac{S_n}{L_n}=\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{2^n}$を示せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n,\quad \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\pi}{2^2}\cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^n}$を求めよ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}2^n \frac{S_2}{L_2}\frac{S_3}{L_3} \cdots \frac{S_n}{L_n}$を求めよ. \imgc{355_1277_2012_1}
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コメント(2件)
![]() 作りました。(1)ができれば綺麗な誘導になっているので、後は解きやすいと思います。 |
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