豊橋技術科学大学
2013年 工学部 第3問
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![曲線y=1/x(x>0)を曲線Cとする.曲線Cと直線y=mxの交点を点P,曲線Cと直線y=1/2xとの交点を点Qとする.ここで傾きmをm>1/2の実数とする.以下の問いに答えよ.(1)点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ.(2)点Qにおける曲線Cの接線Lの方程式を求めよ.(3)接線Lと直線y=mxの交点の座標を,mを用いて表せ.(4)原点Oと点P,原点Oと点Qを結ぶ線分をそれぞれOP,OQとする.曲線CとOP,OQで囲まれた部分の面積Aを,mを用いて表せ.(5)点Pおよび点Qからy軸に垂直に引いたそれぞれの線分と,y軸および曲線Cで囲まれた領域をy軸のまわりに1回転してできる体積を,mを用いて表せ.](./thumb/410/1079/2013_3.png)
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曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を曲線$C$とする.曲線$C$と直線$y=mx$の交点を点$\mathrm{P}$,曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$との交点を点$\mathrm{Q}$とする.ここで傾き$m$を$\displaystyle m>\frac{1}{2}$の実数とする.以下の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ.
(3) 接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を,$m$を用いて表せ.
(4) 原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$とする.曲線$C$と$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を,$m$を用いて表せ.
(5) 点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と,$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を,$m$を用いて表せ.
(1) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ.
(3) 接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を,$m$を用いて表せ.
(4) 原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$とする.曲線$C$と$\mathrm{OP}$,$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を,$m$を用いて表せ.
(5) 点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と,$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を,$m$を用いて表せ.
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コメント(1件)
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