東京理科大学
2015年 理工(数・建築・電気電子情報工) 第3問
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![以下の問いに答えよ.(nは自然数とする.)(1)x=atanθとおくことにより,定積分∫_0^a\frac{dx}{a^2+x^2}(a>0)を求めよ.(2)極限値\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{2n}\frac{n}{4n^2+k^2}を求めよ.(3)以下の問いに答えよ.(i)実数x≧0に対して\frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2}≦1+Σ_{k=1}^n(-x^2)^k≦\frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2}を示せ.(ii)数列{a_n}をa_n=Σ_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}=1-1/3+1/5-1/7+・・・+(-1)^n\frac{1}{2n+1}により定める.\lim_{n→∞}a_nを求めよ.](./thumb/269/270/2015_3.png)
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以下の問いに答えよ.($n$は自然数とする.)
(1) $x=a \tan \theta$とおくことにより,定積分 \[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \] を求めよ.
(2) 極限値 \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \] を求めよ.
(3) 以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 実数$x \geqq 0$に対して \[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \] を示せ.
(ⅱ) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \] により定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(1) $x=a \tan \theta$とおくことにより,定積分 \[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \] を求めよ.
(2) 極限値 \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \] を求めよ.
(3) 以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 実数$x \geqq 0$に対して \[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \] を示せ.
(ⅱ) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \] により定める.$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
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