同志社大学
2016年 法学部・グローバル 第2問
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数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=a_n-3n+\frac{1}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.第$n$項$a_n$に対して,$a_n$を超えない最大の整数を$b_n$,また$c_n$を$c_n=a_n-b_n$より定める.ここで実数$x$に対し$x$を超えない最大の整数とは,$N \leqq x<N+1$を満たす整数$N$とする.このとき次の問いに答えよ.
(1) $a_2,\ a_3,\ b_2,\ b_3$の値をそれぞれ求めよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ.
(3) $n \geqq 3$のとき,数列$\{b_n\}$,$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(4) 正の整数$n$に対して,数列$\{d_n\}$を$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n b_kc_k$で定める.数列$\{d_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ.
(1) $a_2,\ a_3,\ b_2,\ b_3$の値をそれぞれ求めよ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ.
(3) $n \geqq 3$のとき,数列$\{b_n\}$,$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(4) 正の整数$n$に対して,数列$\{d_n\}$を$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n b_kc_k$で定める.数列$\{d_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ.
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