広島工業大学
2010年 工・情報・環境学部(A) 第4問
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![平行四辺形OABCにおいて,OA=2,OC=1とし,∠AOCは鋭角とする.また,辺OA上に点Pをとり,OP/OA=tとする.(1)ベクトルベクトルOA,ベクトルOCをそれぞれベクトルa,ベクトルcとする.このとき,ベクトルベクトルCPをベクトルaとベクトルcおよび実数tを用いて表せ.(2)ベクトルOBとベクトルCPが垂直となるとき,cosθをtを用いて表せ.ただし,∠AOC=θとする.(3)三角形OCPの面積が平行四辺形OABCの面積の1/5であるとき,tの値を求めよ.さらに,ベクトルOBとベクトルCPが垂直となるとき,(2)で定めた角θの大きさを求めよ.](./thumb/638/2269/2010_4.png)
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平行四辺形$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OC}=1$とし,$\angle \mathrm{AOC}$は鋭角とする.また,辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり,$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}=t$とする.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$とする.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.ただし,$\angle \mathrm{AOC}=\theta$とする.
(3) 三角形$\mathrm{OCP}$の面積が平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$であるとき,$t$の値を求めよ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき,$(2)$で定めた角$\theta$の大きさを求めよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$とする.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき,$\cos \theta$を$t$を用いて表せ.ただし,$\angle \mathrm{AOC}=\theta$とする.
(3) 三角形$\mathrm{OCP}$の面積が平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$であるとき,$t$の値を求めよ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が垂直となるとき,$(2)$で定めた角$\theta$の大きさを求めよ.
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