玉が$2$個ずつ入った$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があるとき，袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れ，次に袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる，という操作を$1$回の操作と数えることにする．$\mathrm{A}$に赤玉が$2$個，$\mathrm{B}$に白玉が$2$個入った状態から始め，この操作を$n$回繰り返した後に袋$\mathrm{B}$に入っている赤玉の個数が$k$個である確率を$P_n(k) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_1(k)$を求めよ．
(2) $k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_n(k)$を求めよ．