$e$を自然対数の底とし，$t$を$t>e$となる実数とする．このとき，曲線$C:y=e^x$と直線$y=tx$は相異なる$2$点で交わるので，交点のうち$x$座標が小さいものを$\mathrm{P}$，大きいものを$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{R}$とし，曲線$C$，$x$軸および$2$つの直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$および$2$つの直線$\mathrm{PR}$，$\mathrm{QR}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(2) $\displaystyle \alpha<\frac{e}{t},\ \beta<2 \log t$となることを示し，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．必要ならば，$x>0$のとき$e^x>x^2$であることを証明なしに用いてよい．