数直線上にある$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき， \[ \left\{ \begin{array}{l} \text{石が点$1$にあるならば，確率$1$で点$2$に移動する} \\ \text{石が点$k \ \ (k=2,\ 3,\ 4)$にあるならば，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k-1$に，} \\ \text{確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k+1$に移動する} \\ \text{石が点$5$にあるならば，確率$1$で点$4$に移動する} \end{array} \right. \] という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．試行を$n$回繰り返した後に，石が点$k \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$にある確率を$P_n(k)$とするとき，次の問に答えよ．
(1) $n=6$のときの確率$P_6(k) \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$をそれぞれ求めよ．
(2) 石が移動した先の点に印をつける（点$1$には初めから印がついているものとする）．試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ．
(3) $n \geqq 1$のとき，$P_n(3)$を求めよ．