名古屋大学
2015年 文系 第2問
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数直線上にある$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$つの点と$1$つの石を考える.石がいずれかの点にあるとき,
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{石が点$1$にあるならば,確率$1$で点$2$に移動する} \\
\text{石が点$k \ \ (k=2,\ 3,\ 4)$にあるならば,確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k-1$に,} \\
\text{確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k+1$に移動する} \\
\text{石が点$5$にあるならば,確率$1$で点$4$に移動する}
\end{array} \right. \]
という試行を行う.石が点$1$にある状態から始め,この試行を繰り返す.試行を$n$回繰り返した後に,石が点$k \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$にある確率を$P_n(k)$とするとき,次の問に答えよ.
(1) $n=6$のときの確率$P_6(k) \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$をそれぞれ求めよ.
(2) 石が移動した先の点に印をつける(点$1$には初めから印がついているものとする).試行を$6$回繰り返した後に,$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ.
(3) $n \geqq 1$のとき,$P_n(3)$を求めよ.
(1) $n=6$のときの確率$P_6(k) \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$をそれぞれ求めよ.
(2) 石が移動した先の点に印をつける(点$1$には初めから印がついているものとする).試行を$6$回繰り返した後に,$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ.
(3) $n \geqq 1$のとき,$P_n(3)$を求めよ.
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