負でない整数$N$が与えられたとき，$a_1=N$，$\displaystyle a_{n+1}=\left[ \frac{a_n}{2} \right] \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし$[a]$は，実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を表す．
(1) $a_3=1$となるような$N$をすべて求めよ．
(2) $0 \leqq N<2^{10}$をみたす整数$N$のうちで，$N$から定まる数列$\{a_n\}$のある項が$2$となるようなものはいくつあるか．
(3) $0$から$2^{100}-1$までの$2^{100}$個の整数から等しい確率で$N$を選び，数列$\{a_n\}$を定める．次の条件$(\ast)$をみたす最小の正の整数$m$を求めよ．
$(\ast)$ \ \ 数列$\{a_n\}$のある項が$m$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる．