$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり，$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める． \begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で，互いに外接する．
正の整数$n$に対し，$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し，$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある． \end{itemize} 円$C_n$の半径を$r_n$とする．
(1) 等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ．
(2) すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように，$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ．
(3) $n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．