津田塾大学
2011年 学芸(数学) 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle f(x)=e^{-x}+\int_0^x e^{-(x-t)} \sin t \, dt$とする.このとき,$f^\prime(x)+f(x)=\sin x$が成り立つことを示せ.
(2) 座標空間において,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし,原点$\mathrm{O}$を通り直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である直線の$1$つを$m$とする.直線$m$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる図形を$S$とする.点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が$S$上にあるならば, \[ x^2+y^2+z^2+8xy+8yz+8zx=0 \] が成り立つことを示せ.
(1) $\displaystyle f(x)=e^{-x}+\int_0^x e^{-(x-t)} \sin t \, dt$とする.このとき,$f^\prime(x)+f(x)=\sin x$が成り立つことを示せ.
(2) 座標空間において,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし,原点$\mathrm{O}$を通り直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である直線の$1$つを$m$とする.直線$m$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる図形を$S$とする.点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が$S$上にあるならば, \[ x^2+y^2+z^2+8xy+8yz+8zx=0 \] が成り立つことを示せ.
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