首都大学東京
2016年 理系 第1問
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![aとbを0≦a≦1,0≦b<1をみたす定数とする.数列{a_n}を次の条件によって定める.a_1=a,a_{n+1}=1/2({a_n}^2+b)(n=1,2,3,・・・)c=1-\sqrt{1-b}とおく.以下の問いに答えなさい.(1)0≦a_n≦1が成り立つことを示しなさい.(2)a_{n+1}-c=1/2(a_n+c)(a_n-c)が成り立つことを示しなさい.(3)\lim_{n→∞}a_n=cが成り立つことを示しなさい.](./thumb/188/1487/2016_1.png)
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$a$と$b$を$0 \leqq a \leqq 1$,$0 \leqq b<1$をみたす定数とする.数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める.
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}({a_n}^2+b) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$c=1-\sqrt{1-b}$とおく.以下の問いに答えなさい.
(1) $0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい.
(2) $\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい.
(1) $0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい.
(2) $\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい.
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