京都工芸繊維大学
2013年 工芸科学 第4問
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$xy$平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を考える.$0<p<q$のとき,$C$上の$2$点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$,$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{1}{q} \right)$を通る直線と$C$で囲まれる図形の面積を$S$とし,その図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする.
(1) $\displaystyle r=\frac{q}{p}$とおくとき,$S$および$V$の値を$p,\ r$を用いて表せ.
(2) 自然数$n$に対して,$p=3^{n-1}$,$q=3^{n}$のときの$V$の値を$V_n$とおく.無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$の和を求めよ.
(1) $\displaystyle r=\frac{q}{p}$とおくとき,$S$および$V$の値を$p,\ r$を用いて表せ.
(2) 自然数$n$に対して,$p=3^{n-1}$,$q=3^{n}$のときの$V$の値を$V_n$とおく.無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$の和を求めよ.
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