東京医科歯科大学
2015年 歯学部 第1問
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座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 次の条件$(\ast)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ.
$(\ast)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について,$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき,つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる.
(2) 点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき,$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し,その面積を求めよ.
(3) $(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ.
(1) 次の条件$(\ast)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ.
$(\ast)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について,$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき,つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる.
(2) 点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき,$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し,その面積を求めよ.
(3) $(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ.
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