千歳科学技術大学
2014年 数IAIIB型(I期) 第2問
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次の定理について以下の問いに答えなさい.
\setlength{\leftskip}{10mm} [定理:] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$があり,
$3$直線$\mathrm{AP}$,$\mathrm{BQ}$,$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば \[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1) $\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$,$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい.
(2) この定理を証明しなさい.
\setlength{\leftskip}{10mm} [定理:] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$があり,
$3$直線$\mathrm{AP}$,$\mathrm{BQ}$,$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば \[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1) $\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$,$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい.
(2) この定理を証明しなさい.
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