立教大学
2016年 理学部(個別日程) 第2問
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$a,\ b$を実数,$t$を正の実数とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が,点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする.また,点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(2) $a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3) $m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ.
(4) $\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.
(1) $\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(2) $a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3) $m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ.
(4) $\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.
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