立教大学
2016年 経済(経済、会計)・観光(観光)・コミュ(スポーツ) 第3問
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$\mathrm{AB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において,$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$,$\mathrm{OB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$,$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}=t$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$t$を用いて表せ.
(2) $(1)$で定めた$t$の値を求めよ.
(3) $\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}$を求めよ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(5) $(4)$のとき,三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の半径$r$を求めよ.
(1) $\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}=t$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$t$を用いて表せ.
(2) $(1)$で定めた$t$の値を求めよ.
(3) $\mathrm{OP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}$を求めよ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=0$,$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき,$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$の長さを求めよ.
(5) $(4)$のとき,三角形$\mathrm{OAB}$に内接する円の半径$r$を求めよ.
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