大阪府立大学
2011年 工学域(中期) 第3問
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座標平面内において,楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする.$x_0>0,\ y_0>0$とし,曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり,点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき,$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ.
(2) $x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す.このとき,曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(3) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ.
(1) 直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき,$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ.
(2) $x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す.このとき,曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(3) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ.
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