北海道大学
2015年 理系 第5問
5
5
$n$は自然数,$a$は$\displaystyle a>\frac{3}{2}$をみたす実数とし,実数$x$の関数
\[ f(x)=\int_0^x (x-\theta)(a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta) \, d\theta \]
を考える.ただし,$n=1$のときは$\sin^{n-1}\theta=1$とする.
(1) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ.
(2) $\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$n$と$a$に対して,$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ.
(1) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ.
(2) $\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$n$と$a$に対して,$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ.
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。