茨城大学
2015年 理学部 第3問
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曲線$C_1:y=\log x \ \ (x>0)$と曲線$C_2:y=-x^2+a$を考える.ただし,$\log$は自然対数を表す.以下の各問に答えよ.
(1) 曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における法線$\ell$の方程式を求めよ.ただし,曲線上の点$\mathrm{P}$における法線とは,点$\mathrm{P}$を通り,点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである.
(2) $(1)$で求めた法線$\ell$と曲線$C_2$が接するとき,$a$の値を$t$を用いて表せ.また,$C_2$と$\ell$が接する点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ.
(3) $(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線,点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線,$x$軸,および曲線$C_1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ.
(4) $(3)$で求めた$S(t)$の極値を求めよ.
(1) 曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における法線$\ell$の方程式を求めよ.ただし,曲線上の点$\mathrm{P}$における法線とは,点$\mathrm{P}$を通り,点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである.
(2) $(1)$で求めた法線$\ell$と曲線$C_2$が接するとき,$a$の値を$t$を用いて表せ.また,$C_2$と$\ell$が接する点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ.
(3) $(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線,点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線,$x$軸,および曲線$C_1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ.
(4) $(3)$で求めた$S(t)$の極値を求めよ.
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