長崎大学
2012年 理系 第2問
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次の問いに答えよ．
(1) $m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ． \[ m!>2^m>m^2 \]
(2) 自然数$n$に対する次の和を求めよ． \[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3) (2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4) (2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(1) $m$を5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ． \[ m!>2^m>m^2 \]
(2) 自然数$n$に対する次の和を求めよ． \[ S_n=\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \]
(3) (2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n<\frac{3}{4}$が成り立つことを示せ．
(4) (2)で求めた$S_n$について，$\displaystyle S_n>\frac{2}{3}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
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