長崎大学
2010年 理系 第7問
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![4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．\begin{screen}自然数k,l,mが次の条件\mon[(イ)]kとlは1以外の公約数をもたない\mon[(ロ)]kはlmの約数であるを満たすならば，kはmの約数である．\end{screen}(1)a,b,c,dは整数で，d≠0とする．次の方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0が有理数の解rをもつとき，|r|は自然数であり，かつ|d|の約数に限ることを証明せよ．(2)次の方程式2x^4-2x-1=0の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．](./thumb/713/2938/2010_7.png)
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4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件
[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない [(ロ)] $k$は$lm$の約数である
を満たすならば，$k$は$m$の約数である． \end{screen}
(1) $a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式 \[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \] が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2) 次の方程式 \[ 2x^4-2x-1=0 \] の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．
[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない [(ロ)] $k$は$lm$の約数である
を満たすならば，$k$は$m$の約数である． \end{screen}
(1) $a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式 \[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \] が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2) 次の方程式 \[ 2x^4-2x-1=0 \] の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．
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