長崎大学
2016年 歯学・工学部 第3問
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以下の問いに答えよ．
(1) 関数 \[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \] の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2) 定積分 \[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \] について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3) 関数 \[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \] がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1) 関数 \[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \] の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2) 定積分 \[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \] について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3) 関数 \[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \] がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
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