楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 \ \ (a>0)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(0,\ -a)$とする．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ a \sin \theta)$はこの楕円上を動く．以下の問いに答えよ．
(1) 線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする．$\displaystyle X=\sin \theta \ \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする．$f(X)$を$X$の式で表せ．
(2) $0<a<1$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し，そのときの$X$の値を求めよ．
(3) $a=2$の場合．
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする．$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．