長崎大学
2015年 経済・水産・環境科学部 第2問
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$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 4)$をとり，下図のように線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$を$3$辺とする立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．辺$\mathrm{DE}$，$\mathrm{BF}$の中点を，それぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．以下の問いに答えよ．
\imgc{713_2945_2015_1}
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ．
(2) $\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．
(3) $3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ．
(4) 三角錐$\mathrm{FGMN}$において，三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ．
(5) 三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ．
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を成分で表せ．
(2) $\angle \mathrm{MGN}=\theta$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．
(3) $3$点$\mathrm{G}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を頂点とする三角形$\mathrm{GMN}$の面積を求めよ．
(4) 三角錐$\mathrm{FGMN}$において，三角形$\mathrm{GMN}$を底面としたときの高さを求めよ．
(5) 三角形$\mathrm{GMN}$を含む平面と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表せ．
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