長崎大学
2014年 教育・薬学部 第4問
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次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan x=t$とおく．$\cos 2x$と$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{2-\cos 2x} \, dx$を求めよ．
(3) 関数$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$の逆関数を求めよ．
(4) $\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$とおくことにより，$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(1) $\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan x=t$とおく．$\cos 2x$と$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{2-\cos 2x} \, dx$を求めよ．
(3) 関数$\displaystyle y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$の逆関数を求めよ．
(4) $\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$とおくことにより，$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
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