長崎大学
2014年 歯学・工学部 第2問
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$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1) 偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2) $a_n$と$b_n$を求めよ．
(3) $\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．
(4) $\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．
(1) 偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2) $a_n$と$b_n$を求めよ．
(3) $\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．
(4) $\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．
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